Question

如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.

(1)操作發現如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉，當點D恰好落在AB邊上時，填空：

①線段DE與AC的位置關系是    ；

②設△BDC的面積為S₁，△AEC的面積為S₂，那么S₁，S₂之間的數量關系是    ；

(2)猜想論證

當△DEC繞點C旋轉到圖3所示的位置時，小明猜想(1)中S₁與S₂的數量關系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想；

 

(3)拓展探究

       已知∠ABC=60°，點D是其角平分線上一點，BD=CD=4，DE//AB交BC于點E（如圖4）.

若在射線BA上存在點F，使S_△DCF=S_△BDE，請直接寫出相應的BF的長.

Answer 1

解：（1）① DE∥AC      2分

② S₁=S₂       2分

（2）如圖，∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉得到，∴BC=CE，AC=CD，   1分

∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，    1分

∵易證在△ACN和△DCM中，∴△ACN≌△DCM（AAS），           2分

∴AN=DM，    1分

∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即S₁=S₂； 1分

（3）如圖，過點D作DF₁∥BE，易求四邊形BEDF₁是菱形，所以BE=DF₁，且BE、DF₁上的高相等，

此時S_△DCF=S_△BDE，過點D作DF₂⊥BD，∵∠ABC=60°，∴∠F₁DF₂=∠ABC=60°，
∴△DF₁F₂是等邊三角形，∴DF₁=DF₂，∵BD=CD，∠ABC=60°，點D是角平分線上一點，
∴∠DBC=∠DCB=0.5×60°=30°，∴∠CDF₁=180°-30°=150°，∠CDF₂=360°-150°-60°=150°，
∴∠CDF₁=∠CDF₂，∵在△CDF₁和△CDF₂中，∴△CDF₁≌△CDF₂（SAS），∴點F₂也是所求的點，
∵∠ABC=60°，點D是角平分線上一點，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=0.×60°=30°，
又∵BD=4，∴BE=     ∴BF₁=   ，BF₂=BF₁+F₁F₂=

 故BF的長為或．