Question

（1）已知：如圖1，△ABC是⊙O的內接正三角形，點P為弧BC上一動點，求證：PA=PB+PC；
（2）如圖2，四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，點P為弧BC上一動點，求證：PA=PC+

2

PB；
（3）如圖3，六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形，點P為弧BC上一動點，請探究PA、PB、PC三者之間有何數量關系，并給予證明．

Answer 1

分析：（1）延長BP至E，使PE=PC，連接CE，證明△PCE是等邊三角形．利用CE=PC，∠E=∠3=60°，∠EBC=∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA=BE=PB+PC；
（2）過點B作BE⊥PB交PA于E，證明△ABE≌△CBP，所以PC=AE，可得PA=PC+

2

PB．
（3）在AP上截取AQ=PC，連接BQ可證△ABQ≌△CBP，所以BQ=BP．又因為∠APB=30°．所以PQ=

3

PB，PA=PQ+AQ=

3

PB+PC．

解答：證明：（1）延長BP至E，使PE=PC，
連接CE．∵A、B、P、C四點共圓，
∴∠BAC+∠BPC=180°，
∵∠BPC+∠EPC=180°，
∴∠BAC=∠CPE=60°，PE=PC，
∴△PCE是等邊三角形，
∴CE=PC，∠E=60°；
又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，
∴∠BCE=∠ACP，
∵△ABC、△ECP為等邊三角形，
∴CE=PC，AC=BC，
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA=BE=PB+PC．（2分）

（2）過點B作BE⊥PB交PA于E．
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3，
又∵∠APB=45°，
∴BP=BE，∴PE=

2

PB；
又∵AB=BC，
∴△ABE≌△CBP，
∴PC=AE．
∴PA=AE+PE=PC+

2

PB．（4分）

（3）答：PA=PC+

3

PB；
證明：過點B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ=PC，
連接BQ，∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，
∴△ABQ≌△CBP，
∴BQ=BP．
∴MP=QM，
又∵∠APB=30°，
∴cos30°=

PM

BP

，
∴PM=

3

2

PB，
∴PQ=

3

PB
∴PA=PQ+AQ=

3

PB+PC（7分）

點評：本題考查三角形全等的性質和判定方法以及正多邊形和圓的有關知識．要熟悉這些基本性質才能靈活運用解決綜合性的習題．