Question

如圖，在⊙M中，所對的圓心角為120°，已知圓的半徑為2cm，并建立如圖所示的直角坐標系．
（1）求圓心M的坐標；
（2）求經過A，B，C三點的拋物線的解析式；
（3）點D是弦AB所對的優弧上一動點，求四邊形ACBD的最大面積；
（4）在（2）中的拋物線上是否存在一點P，使△PAB和△ABC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AM，在直角△AMO中，根據三角函數就可以求出OM，就可以得到M的坐標．
（2）根據三角函數就可以求出A，B的坐標，拋物線經過點A、B、C，因而M一定是拋物線的頂點．根據待定系數法就可以求出拋物線的解析式．
（3）四邊形ACBD的面積等于△ABC的面積+△ABP的面積，△ABC的面積一定，△ABP中底邊AB一定，P到AB的距離最大是三角形的面積最大，即當P是圓與y軸的交點時面積最大．
（4）△PAB和△ABC相似，根據相似三角形的對應邊的比相等，就可以求出P點的坐標．
解答：解：（1）如圖（1），
連接MA、MB，
則∠AMB=120°，
∴∠CMB=60°，∠OBM=30度．（2分）
∴OM=MB=1，
∴M（0，1）．（3分）

（2）由A，B，C三點的特殊性與對稱性，知經過A，B，C三點的拋物線的解析式為y=ax²+c．（4分）
∵OC=MC-MO=1，OB=，
∴C（0，-1），B（，0）．（5分）
∴c=-1，a=．
∴y=x²-1．（6分）

（3）∵S_{四邊形ACBD}=S_△ABC+S_△ABD，又S_△ABC與AB均為定值，（7分）
∴當△ABD邊AB上的高最大時，S_△ABD最大，此時點D為⊙M與y軸的交點，如圖（1）．（8分）
∴S_{四邊形ACBD}=S_△ABC+S_△ABD=AB•OC+AB•OD
=AB•CD
=4cm²．（9分）

（4）方法1：
如圖（2），
∵△ABC為等腰三角形，∠ABC=30°，，
∴△ABC∽△PAB等價于∠PAB=30°，PB=AB=2，PA=PB=6．（10分）
設P（x，y）且x＞0，則x=PA•cos30°-AO=3-=2，y=PA•sin30°=3．（11分）
又∵P（2，3）的坐標滿足y=x²-1，
∴在拋物線y=x²-1上，存在點P（2，3），
使△ABC∽△PAB．
由拋物線的對稱性，知點（-2，3）也符合題意．
∴存在點P，它的坐標為（2，3）或（-2，3）．（12分）
說明：只要求出（2，3），（-2，3），無最后一步不扣分．下面的方法相同．
方法2：
如圖（3），
當△ABC∽△PAB時，∠PAB=∠BAC=30°，又由（1）知∠MAB=30°，
∴點P在直線AM上．
設直線AM的解析式為y=kx+b，
將A（-，0），M（0，1）代入，
解得，
∴直線AM的解析式為y=x+1．（10分）
解方程組，
得P（2，3）．（11分）
又∵，
∴∠PBx=60度．
∴∠P=30°，
∴△ABC∽△PAB．
∴在拋物線y=x²-1上，存在點（2，3），使△ABC∽△PAB．
由拋物線的對稱性，知點（-2，3）也符合題意．
∴存在點P，它的坐標為（2，3）或（-2，3）．（12分）
方法3：
如圖（3），
∵△ABC為等腰三角形，且，
設P（x，y），則△ABC∽△PAB等價于PB=AB=2，PA=AB=6．（10分）
當x＞0時，得，
解得P（2，3）．（11分）
又∵P（2，3）的坐標滿足y=x²-1，
∴在拋物線y=x²-1上，存在點P（2，3），使△ABC∽△PAB．
由拋物線的對稱性，知點（-2，3）也符合題意．
∴存在點P，它的坐標為（2，3）或（-2，3）．（12分）
點評：本題主要考查了待定系數法求函數的解析式．并且本題考查了相似三角形的對應邊的比相等．