Question

如圖，一個邊長分別為3cm、4cm、5cm的直角三角形的一個頂點與正方形的頂點B重合，另兩個頂點分別在正方形的兩條邊AD、DC上，那么這個正方形的面積是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：如圖，由△BEF的三邊為3、4、5，根據勾股定理逆定理可以證明其是直角三角形，利用正方形的性質可以證明△FDE∽△ECB，然后利用相似三角形的性質可以得到DE：CB=3：4，設DE為3x，則BC是4x，根據勾股定理即可求出x²=，也就求出了正方形的面積．
解答：如圖，∵△BEF的三邊為3、4、5，而3²+4²=5²，
∴△BEF為直角三角形，
∴∠FEB=90°，而四邊形ABCD為正方形，
∴∠D=∠C=90°，
∴△FDE∽△ECB，
∴DE：CB=EF：EB，即DE：CB=3：4，
∴設DE為3x，則BC是4x，
∴EC是x，
∵三角形EBC為直角三角形，
∴EB²=EC²+BC²，
∴16=x²+（4x）²，
∴x²=，
∵S_{正方形ABCD}=（4x）²=cm²．
故選D．
點評：此題考查了正方形的性質、直角三角形的性質、相似三角形的性質與判定、勾股定理等知識，綜合性比較強，對于學生的能力要求比較高．