Question

（2003•陜西）如圖，正方形ABCD是⊙O的內接正方形，延長BA到E，使AE=AB，連接ED．
（1）求證：直線ED是⊙O的切線；
（2）連接EO交AD于點F，求證：EF=2FO．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，只需證明OD⊥DE．根據正方形的性質得到AE=AD，則∠ADE=45°．又∠ADO=45°則證明了結論；
（2）作OM⊥AB于M．根據平行線分線段成比例定理進行證明．
解答：證明：（1）連接OD．
∵四邊形ABCD為正方形，AE=AB．
∴AE=AB=AD，∠EAD=∠DAB=90°，
∴∠EDA=45°，∠ODA=45°，
∴∠ODE=∠ADE+∠ODA=90°，
∴直線ED是⊙O的切線．

（2）作OM⊥AB于M，
∵O為正方形的中心，
∴M為AB中點，
∴AE=AB=2AM，AF∥OM，
∴=2，
∴EF=2FO．
點評：綜合運用正多邊形的性質和平行線分線段成比例定理．