Question

如圖1，拋物線y=a（x-2）²-2的頂點為C，拋物線與x軸交于A，B兩點（其中A點在B點的左邊），CH⊥AB于H，且tan∠ACH=
（1）求拋物線的解析式；
（2）在坐標平面內是否存在一點D，使得以O、B、C、D為頂點的四邊形是等腰梯形？若存在，求所有的符合條件的D點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，將（1）中的拋物線平移，使其頂點在y軸的正半軸上，在y軸上是否存在一點M，使得平移后的拋物線上的任意一點P到x軸的距離與P點到M的距離相等？若存在，求出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據給出的拋物線解析式，能得到頂點C的坐標，則CH長可求，在Rt△ACH中，結合∠ACH的正弦值能得到AH的長，在確定點A的坐標后代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數的值．
（2）這道題需要充分利用等腰梯形的性質：兩底平行、兩腰相等、對角線相等、同一底上的兩內角相等．首先根據上述特點中的相等角，找出點D的大致位置，然后再根據相等的邊長求出點D的坐標，在求解時要分三種情況考慮：以OB、OC、BC為下底進行考慮．
（3）首先用未知數表示平移后的拋物線解析式（平移過程中，二次項系數是不變的）和點M的坐標，然后用兩點間的距離公式求出PM的長，依據“P到x軸的距離與P點到M的距離相等”作為等量條件求出點M的坐標．
解答：解：（1）由拋物線的解析式知：C（2，-2）；
在Rt△ACH中，CH=2，AH=CH•tan∠ACH=2×=1，則 A（1，0）、B（3，0）．
將點A的坐標代入拋物線的解析式中，得：
0=a（1-2）²-2，則 a=2；
∴拋物線的解析式：y=2（x-2）²-2=2x²-8x+6．

（2）假設存在符合條件的D點．
連接OC、BC，由B（3，0）、C（2，-2）得：
OB=3；∠HOC=∠HCO=45°，OC=2；tan∠HBC=2，BC=．
①當OB∥CD₁、OD₁=BC時，如右圖；
點D₁的橫坐標的縱坐標與BH長相同，則點D₁（1，-2）．
②當OD₂∥BC、OC=BD₂時；
tan∠D₂OB=tan∠HBC=2，則 直線OD₂：y=2x；
設點D₂（x，2x），則：BD₂==，
由OC=BD₂得：2=，解得：x=，x=1（舍）
即點D₂（，）．
③當OC∥BD₃、OD₃=BC時；
∠D₃BO=∠HOC=45°，即tan∠D₃BO=1，可設 B（x，3-x）；
由OD₃=BC=，得：
x²+（3-x）²=5，解得 x=2，x=1（舍）
即點D₃（2，1）．
綜上可知，存在符合條件的點D，且坐標為：（1，-2）、（，）、（2，1）．

（3）設平移后的拋物線解析式為：y=2x²+m，那么其頂點為（0，m），若存在符合條件的點M，則M（0，2m）；（m＞0）
設P（x，2x²+m），則：
PM²=（x-0）²+（2x²+m-2m）²=x²+4x⁴-4mx²+m²，P到x軸的距離：2x²+m；
依題意有：x²+4x⁴-4mx²+m²=（2x²+m）²，解得：m=．
∴存在符合條件的點M，且坐標為 M（0，）．
點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、等腰梯形的判定和性質、解直角三角形、坐標系兩點間的距離公式等重要知識．最后兩個小題是該題的難點，特別是（2）題，由于考慮不夠全面而造成的漏解是容易出錯的地方．