Question

（2008•安順）如圖，已知等邊△ABC，以邊BC為直徑的半圓與邊AB，AC分別交于點D，點E，過點D作DF⊥AC，垂足為點F．
（1）判斷DF與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）過點F作FH⊥BC，垂足為點H．若等邊△ABC的邊長為4，求FH的長．
（結果保留根號）

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，證∠ODF=90°即可．
（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF長，同理可利用△FHC中的60°的三角函數值可求得FH長．
解答：解：（1）DF與⊙O相切．
證明：連接OD，
∵△ABC是等邊三角形，DF⊥AC，
∴∠ADF=30°．
∵OB=OD，∠DBO=60°，
∴∠BDO=60°．（3分）
∴∠ODF=180°-∠BDO-∠ADF=90°．
∴DF是⊙O的切線．（5分）

（2）∵△BOD、△ABC是等邊三角形，
∴∠BDO=∠A=60°，
∴OD∥AC，
∵O是BC的中點，
∴OD是△ABC的中位線，
∴AD=BD=2，
又∵∠ADF=90°-60°=30°，
∴AF=1．
∴FC=AC-AF=3．（7分）
∵FH⊥BC，
∴∠FHC=90°．
在Rt△FHC中，sin∠FCH=，
∴FH=FC•sin60°=．
即FH的長為．（10分）
點評：判斷直線和圓的位置關系，一般要猜想是相切，那么證直線和半徑的夾角為90°即可；注意利用特殊的三角形和三角函數來求得相應的線段長．