Question

如圖，拋物線y=x²-2x+c與y軸交于點A（0，-3），與x軸交于B、C兩點，且拋物線的對稱軸方程為x=1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求B、C兩點的坐標；
（3）設點P為拋物線對稱軸上第一象限內一點，若△PBC的面積為4，求點P的坐標；
（4）點M為拋物線上一動點，點N為拋物線的對稱軸上一動點，當M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形時（BC為平行四邊形的一條邊），求此時點M的坐標．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=x²-2x+c與y軸交于點A（0，-3），
∴c=-3，
拋物線的解析式為y=x²-2x-3；

（2）∵y=x²-2x-3，
∴當y=0時，x²-2x-3=0，
解得x=-1或x=3，
∴B、C兩點的坐標分別為（-1，0），（3，0）；

（3）設點P的坐標為（1，y），則y＞0．
∵B、C兩點的坐標分別為（-1，0），（3，0），
∴BC=4，
∵S_△PBC=•BC•y=2y=4，
∴y=2，
∴點P的坐標為（1，2）；

（4）當以BC為邊時，如圖，
∵以M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴MN=BC=4，即M₁N=M₂N=4，
∴M₁的橫坐標為5，M₂的橫坐標為-3，
∵y=x²-2x-3，
∴當x=5時，y=25-10-3=12；
當x=-3時，y=9+6-3=12，
∴M點坐標為（-3，12）或（5，12）．
分析：（1）將點A（0，-3）代入y=x²-2x+c，運用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）對于y=x²-2x-3，令y=0，得x²-2x-3=0，解方程求出x的值，即可得到與x軸交點B、C的坐標；
（3）設點P的坐標為（1，y），由點P在第一象限，可知y＞0，根據B、C兩點的坐標得出BC=4，由三角形的面積公式得到S_△PBC=•BC•y=2y=4，求出y的值，進而得到點P的坐標；
（4）當以BC為邊時，根據平行四邊形的性質得到MN=BC=4，則可確定點M的橫坐標，然后代入拋物線解析式得到M的縱坐標．
點評：本題考查了二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數法求拋物線的解析式，二次函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積求法，平行四邊形的性質．綜合性較強，難度中等．