Question

如圖，已知二次函數y＝－x²＋mx＋4m的圖象與x軸交于A(x₁，0)，B(x₂，0)兩點(B點在A點的右邊)，與y軸的正半軸交于點C，且(x₁＋x₂)－x₁x₂＝10．

(1)求此二次函數的解析式．

(2)寫出B，C兩點的坐標及拋物線頂點M的坐標；

(3)連接BM，動點P在線段BM上運動(不含端點B，M)，過點P作x軸的垂線，垂足為H，設OH的長度為t，四邊形PCOH的面積為S．請探究：四邊形PCOH的面積S有無最大值？如果有，請求出這個最大值；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由根與系數的關系，得 　　∵(x1＋x2)－x1x2＝10， 　　∴m＋4m＝10，m＝2． 　　∴二次函數的解析式為y＝－x2＋2x＋8． 　　(2)由－x2＋2x＋8＝0，解得x1＝－2，x2＝4． 　　y＝－x2＋2x＋8＝－(x－1)2＋9． 　　∴B，C，M的坐標分別為B(4，0)，C(0，8)，M(1，9)． 　　(3)如圖，過M作MN⊥x軸于N，則ON＝1，MN＝9，OB＝4，BN＝3． 　　∵OH＝t(1＜t＜4)，∴BH＝4－t． 　　由PH∥MN，可求得PH＝3BH＝3(4－t)， 　　∴S＝(PH＋CO)·OH 　�。�(12－3t＋8)t 　�。剑�t2＋10t(1＜t＜4)． 　　S＝－t2＋10t＝－(t－)2＋． 　　∵1＜＜4． 　　∴當t＝時，S有最大值，其最大值為． 　　分析：(1)由根與系數的關系，得到x1和x2的關系式進而求出m的值，所以可求此二次函數的解析式； 　　(2)令y＝0解一元二次方程，可求出B，C兩點的坐標；把二次函數的解析式為y＝－x2＋2x＋8配方化為頂點式可求出頂點M的坐標； 　　(3)過M作MN⊥x軸于N，則ON＝1，MN＝9，OB＝4，BN＝3，再由PH∥MN，可求得PH＝3BH＝3(4－t)，所以S＝－t2＋10t＝－(t－)2＋可求出四邊形PCOH的面積S最大值． 　　點評：本題考查了二次函數的綜合應用，將函數知識與方程、幾何知識有機地結合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于將函數問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．