Question

12．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點(diǎn)，∠EPF=90°，給出四個(gè)結(jié)論：①∠B=∠BAP；②AE=CP；③PE=PF；④S_{四邊形AEPF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC，其中成立的有（　　）

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 由等腰直角三角形的性質(zhì)可知AP=BP，可判斷①；由條件可證明△AEP≌△CFP，可求得AE=CF，PE=PF，可判斷②③；再利用三角形的面積可判斷④，則可求得答案

解答 解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵P是BC的中點(diǎn)，
∴AP=BP=CP，
∴∠BAP=45°，
∴∠B=∠BAP，故①正確；
∵P是BC中點(diǎn)，且AB=C，
∴AP⊥BC，
∴∠APC=∠EPF=90°，
∴∠APE+∠APF=∠APF+∠FPC，
∴∠APE=∠FPC，
在△AEP和△CFP中$\left\{\begin{array}{l}{∠EAP=∠C}\\{AP=CP}\\{∠APE=∠FPC}\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△CFP（ASA），
∴AE=CF，PE=PF，故②錯(cuò)誤，③正確，；
∴S_{四邊形AEPF}=S_△AEP+S_△APF=S_△CFP+S_△APF=S_△APC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，故④正確；
綜上可知成立的有3個(gè)，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)，證得△AEP≌△CFP是解題的關(guān)鍵．