Question

如圖，半圓的直徑AB=2，點C從點A向點B沿著半圓運動，速度為每秒，運動時間為t（秒），D是弧BC的中點，連接AD，BC相交于點E，連接BD．
（1）如果OC∥BD，求t的值及的值；
（2）當t=3時，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出∠DBC=∠C=∠CBA=30°，求出弧AC長，即可求出t，求出DB、AD、DE，AE，代入即可求出答案；
（2）過E作EF⊥AB于F，求出AC、BC，求出BF、EF，求出AE，證△ACE∽△BDE，得出=，推出DB=，代入求出即可．
解答：解：（1）∵OC∥DB，OB=OC，
∴∠DBC=∠C=∠CBA，
∴弧DC=弧AC，
又∵點D平分弧BC，
∴弧DC=弧AC=弧BD，
∴∠DBC=∠C=∠CBA=30°，
∴弧AC=，
∴t=π÷=2．
∵在Rt△ABD中，∠D=90°，AB=2，
∴DB=1，AD=．
∵在Rt△BDE中，∠D=90°，BD=1，∠DBE=30°，
∴tan30°=，
∴DE=，
∴AE=，
∴=；

（2）解：過點E作EF⊥AB于點F，
∵當t=3時，弧AC=，∠ABC=45°，
∵EF⊥AB，
∴∠EFB=90°，
∴∠BEF=45°=∠CBA=∠CAB，
∵∠C=90°，
∴AC=BC=，BF=EF=CE=2-，EB=BF=2-2，
∴AE²=+=8-4，
∵AB為直徑，
∴∠C=∠D=90°，
∵∠AEC=∠BED，
∴△ACE∽△BDE，
∴=，
∴DB=，
∴===．
點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，平行線性質，含30度角的直角三角形，勾股定理的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力，題目綜合性比較強，有一定的難度．