Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長為4cm，動點P從點B出發，以2cm/s的速度、沿B→C→D方向，向點D運動；動點Q從點A出發，以1cm/s的速度、沿A→B方向，向點B運動．若P、Q兩點同時出發，運動時間為t秒．
（1）連接PD、PQ、DQ，設△PQD的面積為S，試求S與t之間的函數關系式；
（2）當點P在BC上運動時，是否存在這樣的t，使得△PQD是等腰三角形？若存在，請求出符合條件的t的值；若不存在，請說明理由；
（3）以點P為圓心，作⊙P，使得⊙P與對角線BD相切．問：當點P在CD上運動時，是否存在這樣的t，使得⊙P恰好經過正方形ABCD的某一邊的中點若存在，請求出符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可根據三角形PQD的面積=梯形ABPD的面積-三角形AQD的面積-三角形BPQ的面積來求解，根據P，Q的速度，可以表示出AQ、BQ、BP，那么就能表示出兩直角三角形的直角邊以及梯形的兩底和高，可根據各自的面積計算公式得出S、t之間的函數關系式．
（2）要分三種情況進行討論：
當PD=QD時，根據斜邊直角邊定理，我們可得出三角形AQD和CPD全等，那么可得出CP=AQ，可用時間t分別表示出AQ、CP的長，然后可根據兩者的等量關系求出t的值．
當PD=PQ時，可在直角三角形BPQ和PDC中，根據勾股定理，用BQ、BP表示出PQ，用CP、CD表示出PD；BQ、BP、PC都可以用t來表示，由此可得出關于t的方程，解方程即可得出t的值．
當QD=PQ時，方法同上．
（3）應當考慮兩種情況：
①圓心P經過BC的中點，如果設圓與BD相切于M，BC的中點是E，那么PM=PE，可用時間t表示出CP的長，也就能表示出DP的長，那么可以根據勾股定理在直角三角形CEP中表示出PE²的長，也就表示出了PM²的長，然后根據∠MDP的正弦值表示出DP，PM的關系，由此可得出關于t的方程，進而求出t的值．
②圓心P經過CD的中點，如過CD的中點是E，那么PM=PE，在直角三角形DMP中，DP=2-半徑的長，PM=半徑的長，因此可根據∠MDP的正弦函數求出半徑的長，然后用t表示出CP，即可求出t的值．

解答：解：（1）當0≤t≤2時，即點P在BC上時，
S=S_{正方形ABCD}-S_△ADQ-S_△BPQ-S_△PCD=16-

1

2

•4•t-

1

2

•2t•（4-t）-

1

2

•（4-2t）•4=t²-2t+8，
當2＜t≤4時，即點P在CD上時，DP=8-2t，
S=

1

2

•（8-2t）•4=16-4t．


（2）①若PD=QD，則Rt△DCP≌Rt△DAQ（HL）．
∴CP=AQ．即t=4-2t，解得t=

4

3

．
②若PD=PQ，則PD²=PQ²，即4²+（4-2t）²=（4-t）²+（2t）²．
解得t=-4±4

2

，其中t=-4-4

2

＜0不合題意，舍去，∴t=-4+4

2

．
③若QD=PQ，則QD²=PQ²，即16+t²=（4-t）²+（2t）²，解得t=0或t=2，
∴t=

4

3

或t=-4+4

2

或t=0或t=2時，△PQD是等腰三角形．

（3）當P在CD上運動時，若⊙P經過BC的中點E，設⊙P切BD于M．
則CP=2t-4，PM²=PE²=（2t-4）²+2²．
而在Rt△PMD中，由于∠PDM=45°，所以DP=

2

PM，即DP²=2PM²．
∴（8-2t）²=2[（2t-4）²+2²]．
解得t=±

6

，負值舍去，
∴t=

6

，
若⊙P經過CD的中點，⊙P的半徑r=2（

2

-1），
故t=2+

2

，
故當點P在CD上運動時，若t=

6

或2+

2

，則⊙P恰好經過正方形ABCD的某一邊的中點．

點評：本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定，切線的性質等知識點．要注意（2）（3）中不同的情況要進行分類討論，不要丟掉任何一種情況．