Question

（2010•銅仁地區）如圖，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于F，∠A=30度．
（1）求圖中陰影部分的面積；
（2）若用陰影扇形OBD圍成一個圓錐側面，請求出這個圓錐的底面圓的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用同弧所對的圓周角等于所對的圓心角的一半，求出扇形的圓心角為120度，在Rt△ABF中根據勾股定理可求出半徑的長，利用扇形的面積公式即可求解；
（2）直接根據圓錐的側面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面周長可得圓錐的底面圓的半徑．
解答：解：（1）法一：過O作OE⊥AB于E，則
BF=AB=2．
在Rt△AEO中，∠BAC=30°，cos30°=．
∴OA===4．
又∵OA=OB，
∴∠ABO=30度．
∴∠BOC=60度．
∵AC⊥BD，∴．
∴∠COD=∠BOC=60度．
∴∠BOD=120度．
∴S_陰影==．

法二：連接AD．
∵AC⊥BD，AC是直徑，
∴AC垂直平分BD．
∴AB=AD，BF=FD，．
∴∠BAD=2∠BAC=60°，
∴∠BOD=120度．
∵BF=AB=2，sin60°=，
AF=AB•sin60°=4×=6．
∴OB²=BF²+OF²．即．
∴OB=4．
∴S_陰影=S_圓=．

法三：連接BC．
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ABC=90度．
∵AB=4，
∴．
∵∠A=30°，AC⊥BD，
∴∠BOC=60°，∴∠BOD=120度．
∴S_陰影=π•OA²=×4²•π=．
以下同法一；

（2）設圓錐的底面圓的半徑為r，則周長為2πr，
∴．
∴．
點評：本題主要考查了扇形的面積公式和圓錐的側面展開圖與底面周長之間的關系．本題還涉及到圓中的一些性質，如垂徑定理等．