Question

如圖，四邊形OABC為等腰梯形，OA∥BC．點A的坐標為（4，0），點C的坐標為（1，2）．點M從O點出發以每秒2個單位的速度向終點A運動，同時點N從B出發以每秒1個單位的速度向終點C運動，過點N作NP⊥x軸于P，連接AC交NP于Q，連接MQ．設點P，點Q運動的時間為t（s）．
（1）求直線AC的解析式；
（2）設△AMQ的面積為S，求S關于t的函數關系式，并求出t取何值時，△AMQ的面積最大；
（3）求t為何值時△AMQ是以MQ為腰的等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知點A的坐標為（4，0），點C的坐標為（1，2），根據“兩點法”可求直線AC的解析式；
（2）過B作BH⊥OA于H，根據等腰梯形的性質可求B點坐標，由直線AC的解析式可表示線段PQ，又由已知可表示AM，再表示△AMQ的面積，根據二次函數的性質求最大值；
（3）當△AMQ是以MQ為腰的等腰三角形，有兩種情況：①QM=QA，②QM=MA，可根據圖形特征和勾股定理求解．
解答：解：
（1）設直線AC的解析式為：y=kx+b，
把點A（4，0），C（1，2）代入得．
解得，
∴y=-x+（4分）

（2）過B作BH⊥OA于H，
∵C（1，2），由等腰梯形的性質
∴AH=1，則OP=OA-AH-HP=4-1-BN=3-t
∵點Q是AC上的點
∴PQ=-（3-t）+（6分）
∵AM=OA-OM=4-2t
∴S=AM•PQ=（4-2t）（t+）=-t²+t+；
（8分）
當時，S_最大=（10分）

（3）有以下兩種情形①QM=QA，由等腰三角形三線合一的性質
此時MP=AP，
即3-3t=t+1，t=0.5（2分）
②QM=MA，即QM²=MA²，由勾股定理得MP²+PQ²=MA²
即（3-3t）²+（t+）²=（4-2t）²，，t₂=-1（舍去）
∴當t=0.5或時，△AMQ是以MQ為腰的等腰三角形．（2分）
點評：本題考查了直線解析式的求法，坐標系中三角形面積的表示方法，二次函數的最大值問題，及尋找等腰三角形的條件．