Question

已知拋物線的解析式為y=-x²+2mx+4-m²．
（1）求證：不論m取何值，此拋物線與x軸必有兩個交點，且兩交點A、B之間的距離為定值；
（2）設點P為此拋物線上一點，若△PAB的面積為8，求符合條件的所有點P的坐標（可用含m的代數式表示）
（3）若（2）中△PAB的面積為s（s＞0），試根據面積s值的變化情況，確定符合條件的點P的個數．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題需先求出△的值，再證出△＞0，再設出A、B的坐標，然后代入公式即可求出AB的長．
（2）本題需先設出P的坐標，再由題意得出b的值，然后即可求出符合條件的所有點P的坐標．
（3）本題需分當s=8時，當0＜s＜8時，當s＞8時三種情況進行討論，即可得出符合條件的點P的個數．
解答：解：（1）∵△=（2m）²-4×（-1）（4-m²）=16＞0，
∴不論m取何值，此拋物線與x軸必有兩個交點．
設A（x₁，0），B（x₂，0），
則
=；

（2）設P（a，b），則由題意b=-a²+2am+4-m²，且，
解得b=±4．
當b=4時得：a=m．
即P（m，4）；
當b=-4時得：．即或P（m-2，-4）；

（3）由（2）知當s=8時，符合條件的點P有2個，
知當0＜s＜8時，符合條件的點P有4個，
當知當s＞8時，符合條件的點P有2個．
點評：本題主要考查了二次函數的綜合應用，在解題時要綜合應用二次函數的圖象和性質以及分類討論思想是本題的關鍵．