Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點和點，點C為拋物線與y軸的交點．

求拋物線的解析式；

若點E為直線BC上方拋物線上的一點，請求出面積的最大值．

在條件下，是否存在這樣的點，使得為等腰三角形？如果有，請直接寫出點D的坐標；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）．（2）當時，面積取最大值，最大值為．（3）點D的坐標為、、、或

【解析】分析：根據點A、B的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

過點E作軸，交BC于點F，利用二次函數圖象上點的坐標特征可找出點C的坐標，根據點B、C的坐標利用待定系數法即可求出直線BC的解析式，設點E的坐標為，則點F的坐標為，進而可得出EF的長度，利用三角形的面積公式可得出，配方后利用二次函數的性質即可求出面積的最大值；

分、、三種情況考慮，根據等腰三角形的性質結合兩點間的距離公式，即可得出關于m的一元二次或一元一次方程，解之即可得出結論．

詳解：將、代入，

得：，解得：，

拋物線的解析式為．

過點E作軸，交BC于點F，如圖1所示．

當時，，

點C的坐標為．

設直線BC的解析式為，

將、代入，得：

，解得：，

直線BC的解析式為．

設點E的坐標為，則點F的坐標為，

，

，

當時，面積取最大值，最大值為．

由可知點E的坐標為

為等腰三角形分三種情況如圖：

當時，有，

解得：，，

點D的坐標為或；

當時，有，

解得：，

點D的坐標為；

當時，有，

解得：，，

點D的坐標為或

綜上所述：當點D的坐標為、、、或時，為等腰三角形．