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已知AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點G,E是直線AB上一動點(不與點A、B、G重合),直線DE交⊙O于點F,直線CF交直線AB于點P.設⊙O的半徑為R.

(1)如圖1,當點E在直徑AB上時,試證明:OE·OP=R2.(提示:作直徑FQ交⊙O于Q,并連結DQ)
(2)當點E在AB(或BA)的延長線上時,以如圖2點E的位置為例,請你畫出符合題意的圖形,標注上字母,(1)中的結論是否成立?請說明理由.

(1)連接FO并延長交⊙O于Q,連接DQ

∵FQ是⊙O直徑
∴∠FDQ=90° 
∴∠QFD+∠Q=90°  
∵CD⊥AB
∴∠P+∠C=90°
∵∠Q=∠C
∴∠QFD=∠P 
∵∠FOE=∠POF
∴△FOE∽△POF

∴OE·OP=OF2=R2
(2)成立

解析試題分析:(1)連接FO并延長交⊙O于Q,連接DQ.先根據同角的余角相等得到∠QFD=∠P,再結合公共角即可證明△FOE∽△POF,然后根據相似三角形的性質即可得到結果;
(2)依題意畫出圖形,連接FO并延長交⊙O于M,連接CM.根據圓周角定理及等角的余角相等可得∠CFM=∠E,再結合公共角即可證明△FOE∽△POF,然后根據相似三角形的性質即可得到結果.
(1)連接FO并延長交⊙O于Q,連接DQ. 

∵FQ是⊙O直徑
∴∠FDQ=90° 
∴∠QFD+∠Q=90°  
∵CD⊥AB
∴∠P+∠C=90°
∵∠Q=∠C
∴∠QFD=∠P 
∵∠FOE=∠POF
∴△FOE∽△POF

∴OE·OP=OF2=R2; 
(2)如圖,依題意畫出圖形,連接FO并延長交⊙O于M,連接CM

∵FM是⊙O直徑
∴∠FCM=90°
∴∠M+∠CFM=90°
∵CD⊥AB
∴∠E+∠D=90°
∵∠M=∠D
∴∠CFM=∠E
∵∠POF=∠FOE
∴△POF∽△FOE

∴OE·OP=OF2=R2.
考點:本題考查的是相似三角形的性質與判定、垂徑定理,圓周角定理
點評:解答本題的關鍵是熟練掌握直徑所對的圓周角是直角;同角或等角的余角相等;同時熟記相似三角形的性質:相似三角形的對應邊成比例,同時注意對應字母寫在對應位置上.

練習冊系列答案
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3
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1
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①②④
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