Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的⊙O經過點D，E是⊙O上一點，且∠AED=45°．
（1）試判斷CD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若⊙O的半徑為3cm，AE=5cm，求∠ADE的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）相切．連接OD，證OD⊥CD即可．根據圓周角定理，∠AOD=90°，又AB∥CD，可得∠ODC=90°，得證；
（2）連接BE，則∠AEB=90°，∠ADE=∠ABE．在△ABE中根據三角函數定義求解．
解答：解：（1）CD與⊙O相切．
理由是：連接OD．
則∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，
∴∠CDO=∠AOD=90°．
∴OD⊥CD，
∴CD與⊙O相切．

（2）連接BE，由圓周角定理，得∠ADE=∠ABE．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，AB=2×3=6（cm）．
在Rt△ABE中，
sin∠ABE==，
∴sin∠ADE=sin∠ABE=．
點評：此題考查了切線的判定及三角函數等知識點，難度不大．