Question

如圖，正方形ABCD中，E與F分別是AD、BC上一點．在①AE=CF、②BE∥DF、③∠1=∠2中，請選擇其中一個條件，證明BE=DF．
（1）你選擇的條件是______（只需填寫序號）
證明：
（2）在BE=DF的前提下，當E點位于AD什么位置時，EF∥CD？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）有所選條件加上已知條件看能附證明結論，若選①可通過SAS證明△BAE≌△DCF，所以可證出BE=DF．若選②則可判斷四邊形EBFD為平行四邊形，可證得BE=DF．若選③可判斷出△AEB≌△CFD，可證得BE=DF．
（2）EF∥CD可知EF⊥BC，又因為BE=DF，故可判斷E在AD的中點處．
解答：解法一：（1）選①；
（2）證明：∵ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠A=∠C=∠Rt
又∵AE=CF，
∴△AEB≌△CFD，
∴BE=DF．

解法二：（1）選②；
（2）證明：∵ABCD是正方形，
∴AD∥BC
又∵BE∥DF，
∴四邊形EBFD是平行四邊形，
∴BE=DF．

解法三：（1）選③；）
（2）證明：∵ABCD是正方形，
∴AB=CD，⊙∠A=∠C=∠Rt
又∵∠1=∠2，
∴△AEB≌△CFD．
∴BE=DF．

（2）當E位于AD中點時，EF∥CD，
理由：∵BE=DF，AB=CD，
∴Rt△AEB≌Rt△CFD．
∴AE=CF，又AE=DE，所以DE=CF，
又∵DE∥CF，∴四邊形EDCF是平行四邊形，所以EF∥CD．
點評：本題主要是考查正方形的四邊相等的性質證明三角形的全等，也用到了平行四邊形的判定即有一組對邊相等且平行的四邊形為平行四邊形．