Question

已知△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，若三條內(nèi)角平分線交于點(diǎn)O，OG⊥AB于G，則AG的長度為

4

．

Answer 1

分析：利用勾股定理逆定理判定△ABC是以∠C為直角的三角形，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得點(diǎn)O到三邊的距離相等，然后利用△ABC的面積列式求出OG的長度，過點(diǎn)O作OE⊥AC，OF⊥BC，判定四邊形CEOF是正方形，求出CE，再求出AE，然后根據(jù)對稱性可得AG=AE，從而得解．

解答：解：∵6²+8²=100=10²，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，
∵三條內(nèi)角平分線交于點(diǎn)O，OG⊥AB，
∴S_△ABC=

1

2

（AC+BC+AB）•OG=

1

2

AC•BC，
∴（6+8+10）•OG=6×8，
解得OG=2，
過點(diǎn)O作OE⊥AC，OF⊥BC，
則四邊形CEOF是正方形，
∴CE=OE=OG=2，
∴AG=AE=AC-CE=6-2=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評：本題考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理逆定理的應(yīng)用，三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，利用三角形的面積求出OG是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．