Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形對角線交于點O，連接OC，已知AC=5，OC=6，則另一直角邊BC的長為    ．

Answer 1

【答案】分析：過O作OF垂直于BC，再過A作AM垂直于OF，由四邊形ABDE為正方形，得到OA=OB，∠AOB為直角，可得出兩個角互余，再由AM垂直于MO，得到△AOM為直角三角形，其兩個銳角互余，利用同角的余角相等可得出一對角相等，再由一對直角相等，OA=OB，利用AAS可得出△AOM與△BOF全等，由全等三角形的對應邊相等可得出AM=OF，OM=FB，由三個角為直角的四邊形為矩形得到ACFM為矩形，根據矩形的對邊相等可得出AC=MF，AM=CF，等量代換可得出CF=OF，即△COF為等腰直角三角形，由斜邊OC的長，利用勾股定理求出OF與CF的長，根據OF-MF求出OM的長，即為FB的長，由CF+FB即可求出BC的長．
解答：解法一：如圖1所示，過O作OF⊥BC，過A作AM⊥OF，
∵四邊形ABDE為正方形，
∴∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠AOM+∠BOF=90°，
又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠BOF=∠OAM，
在△AOM和△BOF中，
，
∴△AOM≌△BOF（AAS），
∴AM=OF，OM=FB，
又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，
∴四邊形ACFM為矩形，
∴AM=CF，AC=MF=5，
∴OF=CF，
∴△OCF為等腰直角三角形，
∵OC=6，
∴根據勾股定理得：CF²+OF²=OC²，
解得：CF=OF=6，
∴FB=OM=OF-FM=6-5=1，
則BC=CF+BF=6+1=7．
故答案為：7．

解法二：如圖2所示，
過點O作OM⊥CA，交CA的延長線于點M；過點O作ON⊥BC于點N．
易證△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB．
∴O點在∠ACB的平分線上，
∴△OCM為等腰直角三角形．
∵OC=6，
∴CM=ON=6．
∴MA=CM-AC=6-5=1，
∴BC=CN+NB=6+1=7．
故答案為：7．
點評：此題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定與性質、角平分線的判定，利用了轉化及等量代換的思想，根據題意作出相應的輔助線是解本題的關鍵．