Question

如圖，AB是⊙O直徑，D為⊙O上一點，AT平分∠BAD交⊙O于點T，過T作AD的垂線交AD的延長線于點C．

（1）求證：CT為⊙O的切線；

（2）若⊙O半徑為2，CT=，求AD的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析  （2）AD=2

【解析】

試題分析：（1）連接OT，由角平分線性質得∠CAT=∠OAT，再由OA=OT“等邊對等角”，得到∠OAT=∠ATO，所以∠CAT=∠ATO由“內錯角相等兩直線平行”得到AC//OT，再由CT⊥AC得到OT⊥CT，從而得到CT為⊙O的切線；

（2）過O作OG⊥AC于點G，由CT⊥AC，OT⊥CT可得∠OTC=∠TCG=∠CGO=90°，再由“三個角是直角的四邊形是矩形”得到四邊形OTCG是矩形，由矩形的對邊相等得OG=CT=，再由勾股定理得AG=1，最后由垂徑定理得AD=2AG=2.

試題解析：（1）連接OT，∵AT平分∠CAB

∴∠CAT=∠OAT

∵OA=OT

∴∠OAT=∠ATO

∴∠CAT=∠ATO

∴AC//OT

又∵CT⊥AC

∴ OT⊥CT

又∵OT是⊙O的半徑

∴CT為⊙O的切線；

（2）過點O作OG⊥AD交AC于點G

又∵CT⊥AC      OT⊥CT

∴∠OTC=∠TCG=∠CGO=90°

∴四邊形OTCG是矩形

∴OG=CT=

在Rt△OGA中，即解得AG=1

∵OG⊥AD

∴AD=2AG=2.

考點：1、切線的判定定理；2、矩形的判定及性質；3、垂徑定理.