Question

26、在△ABC中，AB=AC．
（1）如圖，若點P是BC邊上的中點，連接AP．求證：BP•CP=AB²-AP²；

（2）如圖，若點P是BC邊上任意一點，上面（1）的結論還成立嗎？若成立，請證明、若不成立，請說明理由；

（3）如圖，若點P是BC邊延長線上一點，線段AB，AP，BP，CP之間有什么樣的數量關系？畫出圖形，寫出你的結論．（不必證明）

Answer 1

分析：（1）根據勾股定理和等腰三角形的性質，可知BP=CP，AB²-AP²=BP×BP；
（2）成立，過點A作AD⊥BC于D，依然利用勾股定理即可證明；
（3）畫出圖形，利用勾股定理，AP²-AB²=DP²-BD²=2DC•CP+CP²=BC•CP+CP²=BP•CP．

解答：解：（1）∵AB=AC，P是BC的中點，∴AP⊥BC
∴AB²-AP²=BP²=BP•CP；（3分）

（2）如圖所示：

成立，過點A作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²①
在Rt△APD中，AP²=AD²+PD²②
①-②AB²-AP²=BD²-PD²=（BD+PD）（BD-PD）=PC•BP；

（3）如圖所示：

結論：AP²-AB²=BP•CP．

點評：本題主要考查勾股定理的應用，以及等腰三角形性質的掌握．