Question

【題目】問題發現：

（1）如圖1，內接于半徑為4的，若，則_______；

問題探究：

（2）如圖2，四邊形內接于半徑為6的，若，求四邊形的面積最大值；

解決問題

（3）如圖3，一塊空地由三條直路（線段、AB、）和一條弧形道路圍成，點是道路上的一個地鐵站口，已知千米，千米，，的半徑為1千米，市政府準備將這塊空地規劃為一個公園，主入口在點處，另外三個入口分別在點、、處，其中點在上，并在公園中修四條慢跑道，即圖中的線段、、、，是否存在一種規劃方案，使得四條慢跑道總長度（即四邊形的周長）最大？若存在，求其最大值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）四邊形ABCD的面積最大值是；（3）存在，其最大值為.

【解析】

（1）連接OA、OB，作OH⊥AB于H，利用求出∠AOH=∠AOB=，根據OA=4，利用余弦公式求出AH，即可得到AB的長；

（2）連接AC，由得出AC=，再根據四邊形的面積= ，當DH+BM最大時，四邊形ABCD的面積最大，得到BD是直徑，再將AC、BD的值代入求出四邊形面積的最大值即可；

（3）先證明△ADM≌△BMC,得到△CDM是等邊三角形，求得等邊三角形的邊長CD，再根據完全平方公式的關系得出PD=PC時PD+PC最大，根據CD、∠DPC求出PD，即可得到四邊形周長的最大值.

（1）連接OA、OB，作OH⊥AB于H，

∵，

∴∠AOB=120.

∵OH⊥AB，

∴∠AOH=∠AOB=，AH=BH=AB，

∵OA=4，

∴AH=，

∴AB=2AH=.

故答案為：.

（2）∵∠ABC=120,四邊形ABCD內接于，

∴∠ADC=60，

∵的半徑為6，

∴由（1）得AC=,

如圖，連接AC，作DH⊥AC,BM⊥AC,

∴四邊形的面積= ,

當DH+BM最大時，四邊形ABCD的面積最大，連接BD，則BD是的直徑，

∴BD=2OA=12，BD⊥AC，

∴四邊形的面積=.

∴四邊形ABCD的面積最大值是

（3）存在；

∵千米，千米，，

∴△ADM≌△BMC,

∴DM=MC,∠AMD=∠BCM,

∵∠BCM+∠BMC=180-∠B=120，

∴∠AMD+∠BMC=120，

∴∠DMC=60，

∴△CDM是等邊三角形，

∴C、D、M三點共圓，

∵點P在弧CD上,

∴C、D、M、P四點共圓，

∴∠DPC=180-∠DMC=120，

∵弧的半徑為1千米，∠DMC=60，

∴CD=,

∵,

∴,

∴,

∴當PD=PC時，PD+PC最大，此時點P在弧CD的中點，交DC于H ,

在Rt△DPH中，∠DHP=90,∠DPH=60，DH=DC=,

∴，

∴四邊形的周長最大值=DM+CM+DP+CP=.