Question

如圖，已知正方形ABCD，E是CD的中點，P是BC上一點，下列條件：
①∠APB=∠EPC；②∠APE=90°；③BP=CP；④BP=2CP．
其中能推出△ABP與△ECP相似的是

①②④

（填序號）．

Answer 1

分析：由四邊形ABCD是正方形，可得∠B=∠C=90°，則可得當①∠APB=∠EPC，根據有兩角對應相等的三角形相似，證得△ABP與△ECP相似；
當②∠APE=90°，可得∠APB=∠PEC，繼而可得△ABP與△ECP相似；
當④BP=2CP，可得AB：CE=BP：CP=2：1，根據兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似，即可判定△ABP與△ECP相似．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∵E是CD的中點，
∴EC=

1

2

CD，
①若∠APB=∠EPC，
則△ABP∽△ECP；
②若∠APE=90°，
則∠APB+∠EPC=90°，
∵∠EPC+∠PEC=90°，
∴∠APB=∠PEC，
∴△ABP∽△PCE，
③若BP=CP，
則BP=CP=CE，
∴此時不相似；
④若BP=2CP，
則AB：CE=BP：CP=2：1，
∴△ABP∽△ECP．
故答案為：①②④．

點評：此題考查了相似三角形的判定、正方形的性質以及直角三角形的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．