Question

△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是BC的中點，把一個三角板的直角頂點放在點D處，將三角板繞點D旋轉且使兩條直角邊分別交AB、AC于E、F。

（1）如圖1，觀察旋轉過程，猜想線段AF與BE的數量關系并證明你的結論；
（2）如圖2，若連接EF，試探索線段BE、EF、FC之間的數量關系，直接寫出你的結論（不需證明）；
（3）如圖3，若將“AB=AC，點D是BC的中點”改為：“∠B=30°，AD⊥BC于點D”，其余條件不變，探索（1）中結論是否成立？若不成立，請探索關于AF、BE的比值。

Answer 1

解：（1）（1）結論：AF=BE， 證明：連接AD， ∵AB=AC，∠BAC=90°，點D是BC的中點， ∴AD=BD=DC=BC，∠ADB=∠ADC=90°， ∴∠B=∠C=∠1=∠2=45°， ∴∠3+∠5=90°， ∵∠3+∠4=90°， ∴∠5=∠4， ∵BD=AD， ∴△BDE≌△ADF， ∴BE=AF；
（2）；
（3）（1）中的結論BE=AF不成立， ∵∠B=30°，AD⊥BC于點D，∠BAC=90°， ∴∠3+∠5=90°，∠B+∠1=90°， ∵∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°， ∴∠B=∠2，∠5=∠4， ∴△BDE∽△ADF， ∴。