Question

【題目】“揚州漆器”名揚天下，某網店專門銷售某種品牌的漆器筆筒，成本為元/件，每天銷售（件）與銷售單價（元）之間存在一次函數關系，如圖所示.

（1）求與之間的函數關系；

（2）如果規定每天漆器筆筒的銷售量不低于件，當銷售單價為多少元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是多少？

（3）該網店店主熱心公益事業，決定從每天的銷售利潤中捐出150元給希望工程，為了保證捐款后每天剩余利潤不低于元，試確定該漆器筆筒銷售單價的范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）銷售單價為44元時，每天獲取的利潤最大，元；（3）.

【解析】

（1）可用待定系數法來確定y與x之間的函數關系式；

（2）根據利潤=銷售量×單件的利潤，然后將（1）中的函數式代入其中，求出利潤和銷售單件之間的關系式，然后根據其性質來判斷出最大利潤；

（3）首先得出w與x的函數關系式，進而利用所獲利潤等于3490元時，對應x的值，根據增減性，求出x的取值范圍．

（1）設

經過點

解得

故y與x的關系式為：

（2）30＜

設利潤為

∴x<50時，w隨x的增大而增大，

∴當時，

（2）由題意，得

-10x+700≥260，

解得x≤44，

∴30＜x≤44，

設利潤為w=（x-30）y=（x-30）（-10x+700），

w=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，

∵-10＜0，

∴x＜50時，w隨x的增大而增大，

∴x=44時，w最大=-10（44-50）2+4000=3640，

答：當銷售單價為44元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是3640元；

（3）w-150=-10x2+1000x-21000-150=3490，

-10（x-50）2=-360，

x-50=±6，

x1=56，x2=44，

如圖所示，由圖象得：

當44≤x≤56時，捐款后每天剩余利潤不低于3490元．