Question

在直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（2，2），點C是線段OA上的一個動點（不運動至O，A兩點），過點C作CD⊥x軸，垂足為D，以CD為邊作如圖所示的正方形CDEF，連接AF并延長交x軸的正半軸于點B，連接OF，設OD=t．

（1）tan∠AOB=　_________　，tan∠FOB=　_________　；

（2）用含t的代數式表示OB的長；（3）當t為何值時，△BEF與△OFE相似？

Answer 1

解：（1）1（1分），（1分）；

（2）過點A作AM⊥x軸于M，則OM=AM=2；

∵OD=t，

∴OE=2t，ME=2t﹣2，EF=t；

由于EF∥AM，則有△BEF∽△BMA，得：

，即，

解得：BE=，

故OB=OE+BE=2t+=．………………………………………….(3分)

（3）由于點C在線段OA上運動，且不與O、A重合，故0＜t＜2；

在Rt△OEF中，OE：EF=2：1，即OE=2EF；

若△BEF與△OFE相似，則有：

①EF=2BE，即t=2×，

化簡得：5t²﹣6t=0，即t=，t=0（舍去）；…………………….. .(2分)

②BE=2EF，即=2t，

化簡得：2t²﹣3t=0，即t=0，t=（都不合題意，舍去）；………………………………. .(2分)

綜上所述，當t=時，△BEF與△OFE相似．……………………………………………. .(1分)