Question

將一副直角三角板DEF按如圖1擺放，使直角頂點D落在等腰Rt△ABC的斜邊BC的中點上，DF，DE分別與AB，AC交于點M，N；
（1）如果把圖1中的△DCN繞點D順時方向旋轉180°，得到圖2，在不添加任何輔助線的情況下，圖2中除△DCN≌△DBG外，你還能找到一對全等的三角形嗎？寫出你的結論并說明理由；
（2）將三角板DEF繞點D旋轉，①當M，N分別在AB，AC上時，線段BM，CN，MN之間有一個確定的等量關系．請你寫出這個關系式（不需證明）；
②如圖3，當點M，N分別在BA，AC的延長線上時，①的關系式是否仍然成立？寫出你的結論，并說明理由．

Answer 1

（1）解：答案不唯一，如△MGD≌△MND；
證明：∵△DCN繞點D順時方向旋轉180°得到△DBG，
∴△DCN≌△DBG，G、D、N三點共線，
∴DN=DG，
在△MGD和△MND中，
MD=MD，∠MDG=∠MDN=90°，DN=DG，
∴△MGD≌△MND（SAS）．

（2）解：①BM²+CN²=MN²；
②：①的關系式仍然成立；
將△DCN繞點D順時方向旋轉180°，連接GM，
∴△DCN≌△DBG，
∴∠DCN=∠DBG，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACD=45°，
∴∠DCN=∠DBG=135°，
∠ABG=∠DBG-∠ABC=90°，
同理可證△MGD≌△MND，
∴GM=MN，
在Rt△GBM中：BG²+BM²=GM²，
∴BM²+CN²=MN²．
分析：（1）應找較簡單的，易得到結論的兩個三角形，比如△MGD≌△MND，可利用邊角邊證其全等；
（2）①應利用題中已知的，和（1）中求得的兩個三角形全等，得到CN=BG，MN=MG，易得∠MBG=∠ABD+∠CBG=90°，那么可得所求三邊的關系；
②按照前面的方法構造同樣的三角形全等把所求的三條線段進行轉移，方法同①．
點評：此題把旋轉的性質、全等三角形的判定和勾股定理結合求解．綜合性強，難度大．考查了學生綜合運用數學知識的能力．注意找全等應找容易求得全等的三角形，應用類比的方法求解復雜問題．