Question

（2008•臨沂）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，以AB上的一點O為圓心分別與均AC，BC相切于點D、E．
①求⊙O的半徑；
②求sin∠BOC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，OE，根據S_△AOC+S_△BOC=S_△ABC，即AC•OD+BC•OE=AC•BC即可求解；
（2）過點C作CF⊥AB，垂足為F，在Rt△ABC與Rt△OEC中，根據勾股定理求出AB，OC，根據三角形ABC的面積等于AC•BC=AB•CF，就可以求出CF的值，就可以求出sin∠BOC的值．
解答：解：（1）連接OD，OE，設OD=r
∵AC，BC切⊙O于D，E
∴∠ODC=∠OEC=90°，OD=OE
∵S_△AOC+S_△BOC=S_△ABC
∴AC•OD+BC•OE=AC•BC
即×4r+×2r=×4×2，
∴r=．
（2）過點C作CF⊥AB，垂足為F，連接OC，
在Rt△ABC與Rt△OEC中
AB=，OC=
∵AC•BC=AB•CF
∴CF=
∴sin∠BOC=
即sin∠BOC=．
點評：本題考查的是切線性質的實際應用，運用切線的性質可證明四邊形ODCE正方形．根據三角形的面積的公式就可以求解．