Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，正方形ABCD頂點C（3，0），頂點D（0，4），過點A作AF⊥y軸于F點，過點B作x軸的垂線交過A點的反比例函數y＝（k＞0）的圖象于E點，交x軸于G點．

（1）求證：△CDO≌△DAF．

（2）求反比例函數解析式及點E的坐標；

（3）如圖2，過點C作直線l∥AE，在直線l上是否存在一點P使△PAC是等腰三角形？若存在，求P點坐標，不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）為y＝，點E的坐標為（7，4）；（3）在直線l上存在一點P使△PAC是等腰三角形，點P的坐標為（﹣3，6），（﹣2，5），（8，﹣5），（﹣，）．

【解析】

（1）利用同角的余角相等可得出∠CDO＝∠DAF，結合∠DOC＝∠AFD＝90°及DC＝AD，可證出△CDO≌△DAF；

（2）利用全等三角形的性質可求出AF，FD的長，進而可得出點A的坐標，由點A的坐標，利用反比例函數圖象上點的坐標特征可求出反比例函數解析式，同（1）可證出△CDO≌△BCG，利用全等三角形的性質及反比例函數圖象上點的坐標特征可求出點E的坐標；

（3）由點A，E的坐標，利用待定系數法可求出直線AE的解析式，結合直線l∥AE及點C的坐標可求出直線l的解析式，設點P的坐標為（m，﹣m+3），結合點A，C的坐標可得出AC2，AP2，CP2的值，分AC＝AP，CA＝CP及PA＝PC三種情況可得出關于m的方程，解之即可得出點P的坐標．

（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD＝DC，∠ADC＝90°，

∴∠ADF+∠CDO＝90°．

∵∠ADF+∠DAF＝90°，

∴∠CDO＝∠DAF．

在△CDO和△DAF中，

，

∴△CDO和△DAF（AAS）．

（2）解：∵點C的坐標為（3，0），點D的坐標為（0，4），

∴OC＝3，OD＝4．

∵△CDO和△DAF，

∴FA＝OD＝4，FD＝OC＝3，

∴OF＝OD+FD＝7，

∴點A的坐標為（4，7）．

∵反比例函數y＝（k＞0）過點A，

∴k＝4×7＝28，

∴反比例函數解析式為y＝．

同（1）可證出：△CDO≌△BCG，

∴GB＝OC＝3，GC＝OD＝4，

∴OG＝OC+GC＝7，

∴點G的坐標為（7，0）．

當x＝7時，y＝＝4，

∴點E的坐標為（7，4）．

（3）解：設直線AE的解析式為y＝ax+b（a≠0），

將A（4，7），E（7，4）代入y＝ax+b，得：，

解得：，

∴直線AE的解析式為y＝﹣x+11．

∵直線l∥AE，且直線l過點C（3，0），

∴直線l的解析式為y＝﹣x+3．

設點P的坐標為（m，﹣m+3），

∵點A的坐標為（4，7），點C的坐標為（3，0），

∴AP2＝（m﹣4）2+（﹣m+3﹣7）2＝2m2+32，AC2＝（3﹣4）2+（0﹣7）2＝50，CP2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2＝2m2﹣12m+18．

分三種情況考慮：

①當AC＝AP時，50＝2m2+32，

解得：m1＝3（舍去），m2＝﹣3，

∴點P的坐標為（﹣3，6）；

②當CA＝CP時，50＝2m2﹣12m+18，

解得：m3＝﹣2，m4＝8，

∴點P的坐標為（﹣2，5）或（8，﹣5）；

③當PA＝PC時，2m2+32＝2m2﹣12m+18，

解得：m＝﹣，

∴點P的坐標為（﹣，）．

綜上所述：在直線l上存在一點P使△PAC是等腰三角形，點P的坐標為（﹣3，6），（﹣2，5），（8，﹣5），（﹣，）．