Question

如圖（1），△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC，將△DEF繞點A順時針旋轉，當DF邊與AB邊重合時，旋轉中止．現不考慮旋轉開始和結束時重合的情況，設DE，DF（或它們的延長線）分別交BC（或它們的延長線）所在的直線于G，H點，如圖（2）

（1）問：始終與△AGC相似的三角形有______及______；
（2）設CG=x，BH=y，求y關于x的函數關系式（只要求根據圖（2）的情形說明理由）；
（3）問：當x為何值時，△AGH是等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，利用相似三角形的判定定理即可得出結論．
（2）由△AGC∽△HAB，利用其對應邊成比例列出關于x、y的關系式：9：y=x：9即可．
（3）此題要采用分類討論的思想，當CG＜BC時，當CG=BC時，當CG＞BC時分別得出即可．
解答：解：（1）∵△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，
∵∠H+∠HAC=45°，∠HAC+∠CAG=45°，
∴∠H=∠CAG，
∵∠ACG=∠B=45°，
∴△AGC∽△HAB，
∴同理可得出：始終與△AGC相似的三角形有△HAB和△HGA；
故答案為：△HAB和△HGA．

（2）∵△AGC∽△HAB，
∴AC：HB=GC：AB，即9：y=x：9，
∴y=（0＜x＜9），
∵AB=AC=9，∠BAC=90°，
∴BC===9．
答：y關于x的函數關系式為y=（0＜x＜9）．

（3）①當CG＜BC時，∠GAC=∠H＜∠HAG，
∴AG＜GH，
∵GH＜AH，
∴AG＜CH＜GH，
又∵AH＞AG，AH＞GH，
此時，△AGH不可能是等腰三角形，
②當CG=BC時，G為BC的中點，H與C重合，△AGH是等腰三角形，
此時，GC=，即x=，
③當CG＞BC時，由（1）△AGC∽△HGA，
所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在GH=AH，
若GH=AH，則AC=CG，此時x=9，
如圖（3），當CG=BC時，
注意：DF才旋轉到與BC垂直的位置，
此時B，E，G重合，∠AGH=∠GAH=45°，
所以△AGH為等腰三角形，所以CG=9．
綜上所述，當x=9或x=或9時，△AGH是等腰三角形．
點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，等腰直角三角形的性質，旋轉的性質等知識點的理解和掌握，綜合性較強，難易程度適中，是一道很典型的題目．