Question

已知△ABC中，∠A=x°
（1）如圖1，若∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點O，則用x表示∠BOC=

 

°
（2）如圖2，若∠ABC和∠ACB的三等分線相交于點O₁、O₂，則用x表示∠BO₁C=

 

°
（3）如圖3，若∠ABC和∠ACB的n等分線相交于點O₁、O₂、…、O_n-1，則用x表示∠BO₁C=

 

°

Answer 1

分析：（1）由∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點O，易得：2∠OBC=∠ABC，2∠OCB=∠ACB，又由三角形內角和定理，可得：∠A+2∠OBC+2∠OCB=180°，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，即可求得∠BOC的值；
（2）由∠ABC和∠ACB的三等分線相交于點O₁、O₂，即可得∠O₁BC=

2

3

∠ABC，∠O₁CB=

2

3

∠ACB，又由三角形內角和定理，可得：∠A+

3

2

∠O₁BC+

3

2

∠O₁CB=180°，∠BO₁C+∠O₁BC+∠O₁CB=180°，即可求得∠BO₁C的值；
（3）觀察（1）（2），即可得規律：若∠ABC和∠ACB的n等分線相交于點O₁、O₂、…、O_n-1，
則∠BO₁C=（

180

n

+

n-1

n

x）°．

解答：解：（1）∵∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點O，
∴2∠OBC=∠ABC，2∠OCB=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+2∠OBC+2∠OCB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°-

1

2

∠A，
∵∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+

1

2

∠A，
∵∠A=x°，
∴∠BOC=（90+

1

2

x）°；

（2）∵∠ABC和∠ACB的三等分線相交于點O₁、O₂，
∴∠O₁BC=

2

3

∠ABC，∠O₁CB=

2

3

∠ACB，
∴

3

2

∠O₁BC=∠ABC，

3

2

∠O₁CB=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+

3

2

∠O₁BC+

3

2

∠O₁CB=180°，
∴∠O₁BC+∠O₁CB=

2

3

（180°-∠A），
∵∠BOC=180°-（∠O₁BC+∠O₁CB）=60°+

2

3

∠A，
∵∠A=x°，
∴∠BOC=（60+

2

3

x）°；

（3）由（1）（2）可得規律為：
若∠ABC和∠ACB的n等分線相交于點O₁、O₂、…、O_n-1，
則用x表示∠BO₁C=（

180

n

+

n-1

n

x）°．
故答案為：（1）90+

1

2

x，（2）60+

2

3

x，（3）

180

n

+

n-1

n

x．

點評：此題考查了角的等分線的性質以及三角形內角和定理．注意找的規律：若∠ABC和∠ACB的n等分線相交于點O₁、O₂、…、O_n-1，則用x表示∠BO₁C=（

180

n

+

n-1

n

x）°，是解此題的關鍵．