Question

已知：三點A（a，1）、B（3，1）、C（6，0），點A在正比例函數y=

1

2

x的圖象上．
（1）求a的值；
（2）點P為x軸上一動點．
①當△OAP與△CBP周長的和取得最小值時，求點P的坐標；
②當∠APB=20°時，求∠OAP+∠PBC的度數．

Answer 1

（1）∵點A（a，1）在正比例函數y=

1

2

x的圖象上，
∴a=2．
（2）①如圖①，作點A關于x軸對稱點A′，可得A′（2，-1）．
連接A′B交x軸于點P．

設直線A′B的解析式為y=kx+b（k≠0），可得此直線的解析式為y=2x-5．
當y=0時，x=2.5．
當AP+BP取得最小值時，可得△OAP與△CBP周長的和取得最小值，此時點P的坐標為（2.5，0）．
②如圖②，設AA′交x軸于點K．連接OA′、OB、AB，作BM⊥OC于M．

∵A′K=AK=AB=1，∠OKA′=∠A′AB=90°，OK=AA′=2，
∴△OKA′≌△A′AB．（4分）
∴OA′=A′B，∠OA′K=∠ABA′．
∵在Rt△AA′B中，
∠ABA′+∠AA′B=90°，
∴∠OA′B=90°．
∴△OA′B為等腰直角三角形．
∴∠BOA′=∠BOC+∠A′OC=45°．
∵BM⊥OC，OM=MC=3，
∴OB=BC．
∴∠BOC=∠BCO．
∵∠AOC=∠A′OC，
∴∠AOC+∠BCO=45°．
如圖③，當∠APB=20°時，
∠OAP+∠PBC
=360°-（∠AOC+∠BCO）-（∠APO+∠BPC）
=360°-45°-（180°-20°）=155°．