Question

（2013•新民市一模）已知：如圖，拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）與y軸交于點C（0，-4）與x軸交于點A、B，點A的坐標為（4，0）．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE∥AC，交BC于點E，連接CQ．當△CQE的面積最大時，求點Q的坐標；
（3）若平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點P，與直線AC交于點F，點D的坐標為（2，0）．問：是否存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（4）若點M是拋物線上一動點，點N是直線y=x上一動點，請直接寫出以點M、N、C、O為頂點的四邊形是平行四邊形時，點N的相應坐標．（不需寫出計算過程）

Answer 1

分析：（1）把點A、C代入拋物線解析式，利用待定系數法求二次函數解析式解答；
（2）設點Q坐標為（m，0），過點E作EG⊥x軸于G，令y=0求出點B的坐標，再表示出BQ的長，然后根據△EBQ和△BAC相似，利用相似三角形對應高的比等于相似比列式表示出EG，再根據S_△CQE=S_△BCQ-S_△BEQ列式整理即可得解，再根據二次函數的最值問題解答；
（3）分①DO=DF時，先求出∠OAC=45°，再根據等邊對等角可得∠DFA=45°，然后求出∠ADF=90°，從而得到點F的坐標，再根據點P、F的縱坐標相同，利用二次函數解析式求解；②DF=OF時，過點F作FH⊥x軸于H，根據等腰三角形三線合一的性質可得OH=

1

2

OD=1，再求出HF=AH，然后寫出點F的坐標，根據點P、F的縱坐標相同，利用二次函數解析式求解；③OD=OF時，先求出點O到AC的距離，根據垂線段最短判斷出此時不存在直線l，使△ODF為等腰三角形；
（4）根據點A、C的坐標判斷出直線AC與直線y=x平行，點M與點A重合，然后根據平行四邊形對邊平行且相等求出點N的橫坐標，然后利用直線求出縱坐標即可得解；再根據拋物線與直線解析式表示出MN，然后根據MN與OC相等列出方程求解即可．

解答：解：（1）由題意得，

16a-8a+c=0 c=-4

，
解得

a= 1 2 c=-4

，
所以，拋物線的解析式為y=

1

2

x²-x-4；

（2）設點Q坐標為（m，0），過點E作EG⊥x軸于G，
由

1

2

x²-x-4=0，得x₁=-2，x₂=4，
∴點B的坐標為（-2，0），
∴AB=4-（-2）=6，BQ=m-（-2）=m+2，
∵QE∥AC，
∴△EBQ∽△BAC，
∴

EG

CO

=

BQ

BA

，
即

EG

4

=

m+2

6

，
解得EG=

2m+4

3

，
S_△CQE=S_△BCQ-S_△BEQ，
=

1

2

BQ•CO-

1

2

BQ•EG，
=

1

2

（m+2）×4-

1

2

（m+2）×

2m+4

3

，
=-

1

3

m²+

2

3

m+

8

3

，
=-

1

3

（m-1）²+3，
又∵-2≤m≤4，
∴m=1時，△CQE的面積最大，最大值是3，此時點Q（1，0）；

（3）存在．
①DO=DF時，∵A（4，0），D（2，0），
∴AD=OD=DF=2，
又∵在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，∠DFA=∠OAC=45°，
∴∠ADF=90°，
此時點F的坐標為（2，-2），
∵直線l平行于x軸，
∴點P的縱坐標為-2，
∴

1

2

x²-x-4=-2，
解得x₁=1+

5

，x₂=1-

5

，
∴點P的坐標為（1+

5

，-2）或（1-

5

，-2）；
②DF=OF時，過點F作FH⊥x軸于H，由等腰三角形的性質得，OH=

1

2

OD=1，
∴AH=4-1=3，
∴在等腰直角△AHF中，HF=AH=3，
∴點F的坐標為（1，-3），
∵直線l平行于x軸，
∴點P的縱坐標為-3，
∴

1

2

x²-x-4=-3，
解得x₁=1+

3

，x₂=1-

3

，
∴點P的坐標為（1+

3

，-3）或（1-

3

，-3）；
③OD=OF時，∵OA=OC=4，∠AOC=90°，
∴AC=

42+42

=4

2

，
∴點O到AC的距離為

4×4

4 2

=2

2

，
∵OF=OD=2＜2

2

，
∴此時，不存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形，
綜上所述，P點的坐標為（1+

5

，-2）或（1-

5

，-2）或（1+

3

，-3）或（1-

3

，-3）；

（4）∵A（4，0），C（0，-4），
∴直線AC與x軸的夾角為45°，
∴直線AC與直線y=x平行，
①點M與點A重合時，ON與CM是對應邊，
此時點N的橫坐標是4或-4，
又∵點N在直線y=x上，
∴點N的坐標為（4，4）或（-4，-4），
②點M與點A不重合時，設點N的坐標為（m，m），
∵MN與OC是對邊，
∴MN=OC，
∴|

1

2

m²-m-4-m|=4，
∴

1

2

m²-m-4-m=4或

1

2

m²-m-4-m=-4，
整理得，m²-4m-16=0或m²-4m=0，
解得m₁=2+2

5

，m₂=2-2

5

，m₃=4（M與A重合，舍去），m₄=0（M與C重合，舍去），
∴點N的坐標為（2+2

5

，2+2

5

）或（2-2

5

，2-2

5

），
綜上所述，存在點N（2+2

5

，2+2

5

）或（2-2

5

，2-2

5

）或（4，4）或（-4，-4）．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要利用了待定系數法求二次函數解析式，相似三角形的判定與性質，二次函數的最值問題，等腰三角形的性質，平行四邊形對邊平行且相等的性質，（2）利用所求三角形的面積等于兩個三角形的面積的差求解是解題的關鍵；（3）難點在于根據等腰三角形的腰的不同分情況討論，（4）根據平行四邊形的對邊平行且相等分情況列出方程是解題的關鍵．