Question

如圖，AE和CD分別是△ABC的邊AB、BC上的中線，AE和CD相交于點G，GA=5cm，GD=2cm，GB=3cm，則△ABC的面積為________cm²．

Answer 1

18
分析：連接BG并延長交AC于點F，延長GE至H使EH=GE，根據三角形的重心的性質結合勾股定理的逆定理，可得△BGH為RT△，再由面積相互間的轉換即可求解．
解答：解：如圖：中線AE和CD交于點G，則G為△ABC的重心，
連接BG并延長交AC于點F，
則F為AC的中點，
由三角形重心具有的性質：AG=2GE，CG=2DG，BG=2GF，
∴易得：S_△ABG=S_△ACG=S_△BCG=S_△ABC，
延長GE至H使EH=GE，
∴EH=GE=AG=2.5，
∴GH=GE+EH=5．
又∵D為AB中點，
∴DG是△ABH的中位線，
∴BH=2DG=4，
在△BGH中，BG=3，GH=5，BH=4，
∴△BGH為RT△，
∴S_△BGH=×3×4=6，
∴S_△BGE=×S_△BGH=3，
∴S_△BGC=2S_△BGE=6，
∴S_△ABC=3×6=18．
故答案為：18．
點評：本題考查了勾股定理的逆定理和三角形的重心的性質，解題的關鍵是作出輔助線得到△BGH為Rt△，有一定的難度．