Question

如圖，已知直線AB與x軸、y軸分別交于A和B，OA=4，且OA、OB長是關于x的方程x²-mx+12=0的兩實根，以OB為直徑的⊙M與AB交于C，連接CM．
（1）求⊙M的半徑．
（2）若D為OA的中點，求證：CD是⊙M的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）由OA、OB長是關于x的方程x²-mx+12=0的兩實根，得OA•OB=12，而OA=4，所以OB=3，又由于OB為⊙M的直徑，即可得到⊙M的半徑．
（2）連MD，OC，由OB為⊙M的直徑，得∠OCB=90°，則∠OCD=90°，由于D為OA的中點，所以CD=OA=OD，因此可證明△MCD≌△MOD，所以∠MCD=∠MOD=90°，即CD是⊙M的切線．
解答：（1）解：∵OA、OB長是關于x的方程x²-mx+12=0的兩實根，
∴OA•OB=12，而OA=4，
∴OB=3，
又∵OB為⊙M的直徑，
∴⊙M的半徑為．

（2）證明：連MD，OC，如圖，
∵OB為⊙M的直徑，
∴∠OCB=90°，
又∵D為OA的中點，
∴CD=OA=OD，
而MC=MO，MD公共，
∴△MCD≌△MOD，
∴∠MCD=∠MOD=90°，
所以CD是⊙M的切線．
點評：本題考查了圓的切線的判定方法．經過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．當已知直線過圓上一點，要證明它是圓的切線，則要連接圓心和這個點，證明這個連線與已知直線垂直即可；當沒告訴直線過圓上一點，要證明它是圓的切線，則要過圓心作直線的垂線，證明垂線段等于圓的半徑．同時考查了直徑所對的圓周角為90度，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及三角形全等的判定和性質．