Question

（2010•保山）如圖，已知直線l的解析式為y=-x+6，它與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，平行于直線l的直線n從原點O出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，運動時間為t秒，運動過程中始終保持n∥l，直線n與x軸、y軸分別相交于C、D兩點，線段CD的中點為P，以P為圓心，以CD為直徑在CD上方作半圓，半圓面積為S，當直線n與直線l重合時，運動結束．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）求S與t的函數關系式及自變量t的取值范圍；
（3）直線n在運動過程中，
①當t為何值時，半圓與直線l相切？
②是否存在這樣的t值，使得半圓面積S=S_梯形ABCD？若存在，求出t值．若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直線l的解析式y=-x+6，令y=0求得A點坐標，x=0求得B點坐標；
（2）由面積公式S=，CD=OD=t列出函數關系式，D在線段OA上運動，可得出t取值范圍；
（3）①當兩直線的距離為時，半圓與直線相切，即AD=；
②由面積公式列出等量關系“=”求出t值．
解答：解：（1）∵y=-x+6，令y=0，得0=-x+6，x=6
∴A（6，0）
令x=0，得y=6
∴B=（0，6）

（2）∵OA=OB=6
∴△AOB是等腰直角三角形
∵n∥l
∴∠CDO=∠BAO=45°
∴△COD為等腰直角三角形
∴OD=OC=t
CD=
∴PD=CD=t
S=πPD²=
∴S=（0＜t≤6）

（3）
①分別過D、P作DE⊥AB于E、PF⊥AB于F
AD=OA-OD=6-t
在Rt△ADE中sin∠EAD=
DE=
∴PF=DE=
當PF=PD時，半圓與l相切
即
t=3
當t=3時，半圓與直線l相切．
②存在．
∵S_梯形ABCD=S_△AOB-S_△COD=
S=
若S=S_梯形ABCD，則
（π+1）t²=36


∴存在t=，使得S=S_梯形ABCD．
點評：本題為復雜的一次函數綜合題，其中有坐標的求法，動點運動的函數關系式以及面積的求法．