Question

已知二次函數y=x²-2mx+m²-m-2的圖象的頂點為C，圖象與x軸有兩個不同的交點A、B，其坐標為A（x，0）、B（4，0），且△ABC的面積為8．
（1）求二次函數的解析式；
（2）在此二次函數的圖象上求出到兩坐標軸距離相等的點的坐標，并求出以這些點為頂點的多邊形的外接圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）把B（4，0）代入二次函數的解析式，可求出m的值，把m的值分別代入二次函數的解析式，再根據△ABC的面積為8判斷出m的值即可．
（2）由于與坐標軸相等的點的坐標所在的直線為y=x或y=-x，故應分兩種情況討論．
根據O，D，E，三點的坐標，判斷出△ODE的形狀，即可求出以這些點為頂點的多邊形的外接圓的半徑．

解答：解：（1）由B點坐標為（4，0）得：16-8m+m²-m-2=0，
∴m₁=2m₂=7，
當m=2時，y=x²-4x．
△ABC面積為8，符合題意，（2分）
當m=7時，y=x²-14x+40，
∴點A（10，0）B（4，0）頂點C（7，-9），
∴△ABC的面積為27，不符合題意，（4分）
∴函數解析式為y=x²-4x．（5分）

（2）與兩坐標軸距離相等的點的坐標y=x時，
∴

y=x y=x2-4x

，
解之得

x1=0 y1=0

，

x2=5 y2=5

∴點O（0，0）D（5，5）（7分）
與兩坐標軸距離相等的點的坐標y=-x時
∴

y=-x y=x2-4x

，
解之得

x1=0 y1=0

，

x3=3 y3=-3

，
∴點O（0，0）E（3，-3），（9分）
∴符合條件的點有三個O（0，0），D（5，5），E（3，-3）．（10分）
由題意知：OD⊥OE，即△ODE為直角三角形
∴DE為△ODE外接圓的直徑如圖：
∴DE=

EM2+DM2

=

[5-(-3)]2+(5-3)2

=2

17

，
∴△ODE外接圓的半徑為

17

．（12分）

點評：本題考查的是二次函數圖象上點的坐標特點，及圓的相關知識，比較復雜．