Question

某校八年級學生在數學綜合實踐活動中，老師出示了如圖所示的一塊直角邊AC=30cm、BC=40cm的直角三角形余料，要求同學們在這塊余料上截下一個正方形并且盡可能使所截的正方形的面積大，同學們在經過討論后得出有如下兩種截法，請你利用所學的知識，通過計算回答哪種方法更好？

Answer 1

分析：分別求出兩種方法所截的正方形的邊長：利用勾股定理可得到AB=50cm，
方法1：設正方形DEFG的邊長為xcm，過C作高CH交DE于P，先利用面積法可求得CH的長，則CP=CH-PH=24-x，然后根據△CED∽△CBA，利用相似比建立關于x的方程

x

50

=

24-x

24

，解方程得到x的值；
方法2：設正方形DEFC的邊長為ycm，易證△BEF∽△BAC，然后利用相似比建立關于x的方程

40-y

40

=

y

30

，解方程求出y；
最后比較x與y的大小即可判斷哪種方法更好．

解答：解：方法1：過C作高CH交DE于P，如圖，
設正方形DEFG的邊長為xcm，
∵AC=30，BC=40，
∴AB=50，
∴CH=

CA•CB

AB

=

30×40

50

=24，
∴CP=CH-PH=24-x，
∵ED∥AB，
∴△CED∽△CBA，
∴

DE

AB

=

CP

CH

，即

x

50

=

24-x

24

，
解得x=

600

37

；

方法2：設正方形DEFC的邊長為ycm，
FC=y，則BF=40-y，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴

BF

BC

=

EF

AC

，即

40-y

40

=

y

30

，
解得y=

120

7

，
∵y=

120

7

=

600

35

＞x=

600

37

．
∴按方法2所截的正方形的面積大．

點評：本題考查了三角形相似的應用：利用相似三角形的對應邊的比相等建立等量關系，然后解方程．也考查了勾股定理以及正方形的性質．