Question

在邊長為6cm的正方形ABCD中，點E，F，G，H分別按A?B，B?C，C?D，D?A的方向同時出發，以1cm/s的速度勻速運動．
（1）在運動中，點E，F，G，H所形成的四邊形EFGH為（ ）
A：平行四邊形；B：矩形；C：菱形；D：正方形．

（2）四邊形EFGH的面積s（cm²）隨運動時間t（s）變化的圖象大致是（ ）

（3）寫出四邊形EFGH的面積S（cm²）關于運動時間t（s）變化的函數關系式，并求運動幾秒鐘時，面積最小，最小值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據全等三角形的性質求出EF=EH，判斷出EFGH為菱形，再求出一個較為90度即可；
（2）應該是由大變小，進而變大的過程；
（3）s=EH²=AE²+AH²，當x=-時，y有最小值．
解答：解：（1）易得EH和EF所在的三角形全等，那么EF=EH，進而求得其它四條邊相等，那么EFGH為菱形
由全等得∠AEH=∠EFB
∵∠EFB+∠BEF=90°
∴∠AEH+∠BEF=90°
∴∠HEF=90°
∴EFGH是正方形；
故選D．

（2）由圖可知，當E、F、G、H為四邊形ABCD各邊中點時，
四邊形EFGH面積最小，可得面積變化經過了“由大變小，再由小變大”的過程，
于是可得四邊形EFGH的面積s（cm²）隨運動時間t（s）變化的圖象大致是拋物線．
故選B．

（3）設AE=xcm，∴S=EH²=AE²+AH²=x²+（6-x）²=2x²-12x+36=2（x-3）²+18，
可知當x=3時，S_最小值=18．
點評：本題用到的知識點為：有一個角是90度的菱形是正方形，當二次函數的二次項的系數大于0時，當x=-時，函數有最小值．