Question

如圖，以△ABC的邊AC為直徑的半圓交AB于D，三邊長a，b，c能使二次函數(shù)y=

1

2

(c+a)x2-bx+

1

2

(c-a)的頂點在x軸上，且a是方程z²+z-20=0的一個根．
（1）證明：∠ACB=90°；
（2）若設b=2x，弓形面積S_弓形AED=S₁，陰影部分面積為S₂，求（S₂-S₁）與x的函數(shù)關系式；
（3）在（2）的條件下，當b為何值時，（S₂-S₁）最大？

Answer 1

分析：（1）已知拋物線的頂點在x軸上，因此拋物線與x軸只有一個交點，令y=0，方程的△=0，由此即可證得三角形ABC為直角三角形，即可得出所求的結論．
（2）由于S₂-S₁=S_△ABC-（S_半圓-S₁）-S₁=S_△ABC-S_半圓因此只需求出三角形ABC和半圓的面積即可．根據(jù)題中給出的方程可求出a的值及BC的長，AC=b=2x，由此可求出三角形和半圓的面積，即可得出（S₂-S₁）與x的函數(shù)關系式．
（3）根據(jù)（2）得出的函數(shù)的性質(zhì)即可求得（S₂-S₁）最大時對于的b的值．

解答：解：（1）因為二次函數(shù)y=

1

2

（a+c）x²-bx+

1

2

（c-a）的頂點在x軸上，
∴△=0，
即b²-4×

1

2

（a+c）×

1

2

（c-a）=0，
∴c²=a²+b²，
得∠ACB=90°，
或者從拋物線頂點的縱坐標為零求得
y=

4× 1 2 (a+c)× 1 2 (c-a)-b2

4× 1 2 (a+c)

=0，
可得c²=a²+b²；

（2）∵z²+z-20=0．
∴z₁=-5，z₂=4，
∵a＞0，得a=4，
設b=AC=2x，有S_△ABC=

1

2

AC•BC=4x，S_半圓=

1

2

πx²，
∴S₂-S₁=S_△ABC-（S_半圓-S₁）-S₁=S_△ABC-S_半圓=-

π

2

x²+4x，

（3）S₂-S₁=-

π

2

（x-

4

π

）²+

8

π

，
∴當x=

4

π

，
即b=

8

π

時，（S₂-S₁）有最大值

8

π

．

點評：本題考查一元二次方程的解法，二次函數(shù)與一元二次方程的關系、勾股定理、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．