Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，AC，BC是⊙O的兩條弦，過點C作∠BCD＝∠A，CD交AB的延長線于點D．

（1）試說明：CD是⊙O的切線；

（2）若tanA＝，求的值；

（3）在（2）的條件下，若AB＝7，DE平分∠ADC交AC于點E，求ED的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）連接OC，由∠A＝∠BCD＝∠ACO且∠ACO＋∠OCB＝90°知∠BCD＋∠OCB＝90°，據此即可得證；

（2）先△ADC∽△CDB得＝＝，得出，從而得出，進而可得出答案；

（3）由（2）得AB＝7、BD＝9、CD＝12，證DE是∠ADC的平分線知＝＝，然后通過勾股定理求出AC,BC的長度，然后證得∠A＋∠EDA＝∠DEC＝45°，則△CDH為等腰直角三角形，由BCDH知∠CDH＝∠BCD，據此得tan∠CDH＝＝，繼而得DH＝CD＝，DE＝DH．

解：（1）如圖，連接OC，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠ACO，

∵∠A＝∠BCD，

∴∠BCD＝∠ACO，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠OCB＝90°，

∴∠BCD＋∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，

，

∴CD是⊙O的切線．

（2）∵∠BCD＝∠A，∠ADC＝∠ADC，

∴△ADC∽△CDB，

．

∵tanA＝＝，

∴，

，

，

∴．

（3）過點E作EM⊥AB于M，EN⊥DC交DC的延長線于N，過點D作DH⊥AC交AC延長線于點H，

，

．

，

設 ，

，

，

解得 ，

∴．

∵DE是∠ADC的平分線，EM⊥AB，EN⊥DC，

∴EM＝EN，

∴＝=，

∴===，

∴EC．

∵∠BCD＝∠A，∠EDA＝∠EDC，且∠A＋∠BCD＋∠EDA＋∠EDC＝90°，

∴∠A＋∠EDA＝∠DEC＝45°，

∴△DEH為等腰直角三角形，

∴DE＝DH．

，

BCDH，

∴∠CDH＝∠BCD，

∴tan∠CDH＝＝，

∴DH＝CD＝12×＝，

則DE＝DH＝．