Question

先閱讀下列材料，再解答后面的問題．
一般地，若aⁿ=b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對數，記為log_ab（即log_ab=n）．如3⁴=81，則4叫做以3為底81的對數，記為log₃81（即log₃81=4）．
（1）計算以下各對數的值：log₂4=______，log₂16=______，log₂64=______．
（2）觀察（1）中三數4、16、64之間滿足怎樣的關系式，log₂4、log₂16、log₂64之間又滿足怎樣的關系式；
（3）猜想一般性的結論：log_aM+log_aN=______（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根據冪的運算法則：a^m•aⁿ=a^m+n以及對數的含義證明你的猜想．

Answer 1

解：（1）log₂4=2，log₂16=4，log₂64=6；

（2）log₂4+log₂16=log₂64；

（3）猜想log_aM+log_aN=log_a（MN）．
證明：設log_aM=b₁，log_aN=b₂，則a^b₁=M，a^b₂=N，
故可得MN=a^b₁•a^b₂=a^b₁+b₂，b₁+b₂=log_a（MN），
即log_aM+log_aN=log_a（MN）．
分析：（1）根據材料敘述，結合2²=4，2⁴=16，2⁶=64即可得出答案；
（2）根據（1）的答案可得出log₂4、log₂16、log₂64之間滿足的關系式；
（3）設log_aM=b₁，log_aN=b₂，則a^b₁=M，a^b₂=N，分別表示出MN及b₁+b₂的值，即可得出猜想．
點評：本題考查了同底數冪的乘法運算，題目出得比較新穎，解題思路以材料的形式給出，需要同學們仔細閱讀，理解并靈活運用所給的信息．