Question

某學習小組在探索“各內角都相等的圓內接多邊形是否為正多邊形”時，進行如下討論：
甲同學：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內接矩形．
乙同學：我發現邊數是6時，它也不一定是正多邊形，如圖1，△ABC是正三角形，

AD

=

BE

=

CF

，證明六邊形ADBECF的各內角相等，但它未必是正六邊形．
丙同學：我能證明，邊數是5時，它是正多邊形，我想…，邊數是7時，它可能也是正多邊形．
（1）請你說明乙同學構造的六邊形各內角相等；
（2）請你證明，各內角都相等的圓內接七邊形ABCDEFG（如圖2）是正七邊形；（不必寫已知，求證）
（3）根據以上探索過程，提出你的猜想．（不必證明）

Answer 1

分析：要證明一個圓內接多邊形是正多邊形，只要證明多邊形的頂點是圓的等分點就可以了．

解答：解：（1）由圖知∠AFC對

ABC

，
∵

CF

=

DA

，而∠DAF對的

DEF

=

DBC

+

FC

=

AD

+

DBC

=

ABC

，
∴∠AFC=∠DAF．同理可證，其余各角都等于∠AFC，
故圖（1）中六邊形各角相等；

（2）∵∠A對

BEG

，∠B對

CEA

，
又∵∠A=∠B，
∴

CEA

=

BEG

，
∴

BC

=

AG

，
同理，

BA

=

CD

=

EF

=

AG

=

BC

=

DE

=

FG

．

（3）猜想：當邊數是奇數時（或當邊數是3，5，7，9，時），
各內角相等的圓內接多邊形是正多邊形．

點評：本題主要考查了連接圓的等分點所得到的多邊形是正多邊形這一結論．