Question

如圖，直線l的解析式為y=-x+4，它與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，平行于直線l的直線m從原點O出發，沿x軸的正方向以每秒1個單位長度的速度運動，它與x軸、y軸分別相交于M、N兩點，運動時間為t秒（0＜t≤4）
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）用含t的代數式表示△MON的面積S₁；
（3）以MN為對角線作矩形OMPN，記△MPN和△OAB重合部分的面積為S₂；
①當2＜t≤4時，試探究S₂與之間的函數關系；
②在直線m的運動過程中，當t為何值時，S₂為△OAB的面積的

5

16

？

Answer 1

分析：（1）在解析式y=-x+4中，分別令y=0，x=0就可以求出與x，y軸的交點坐標；
（2）根據MN∥AB，得到△OMB∽△OAB，根據相似三角形的對應邊的比相等，就可以求出，用OM表示出來；
（3）根據t的不同值，所對應的陰影部分的圖形形狀不同，因而應分2＜t≤4和當0＜t≤2兩種個情況進行討論．

解答：解：（1）當x=0時，y=4；當y=0時，x=4．
∴A（4，0），B（0，4）；
（2）∵MN∥AB，

OM

ON

=

OA

OB

=1，
∴OM=ON=t，
∴S₁=

1

2

OM•ON=

1

2

t²；
（3）①當2＜t≤4時，易知點P在△OAB的外面，則點P的坐標為（t，t）．
理由：當t=2時，OM=2，ON=2，OP=MN=

22+22

=2

2

，
直角三角形AOB中，設AB邊上的高為h，
易得AB=4

2

，則

1

2

×4

2

h=4×4×

1

2

，
解得h=2

2

，
故t=2時，點P在l上，
2＜t≤4時，點P在△OAB的外面．
F點的坐標滿足

x=t y=-t+4

，即F（t，4-t），
同理E（4-t，t），則PF=PE=|t-（4-t）|=2t-4，
所以S₂=S_△MPN-S_△PEF=S_△OMN-S_△PEF，
=

1

2

t²-

1

2

PE•PF=

1

2

t²-

1

2

（2t-4）（2t-4）=-

3

2

t²+8t-8；
②當0＜t≤2時，S₂=

1

2

t²，

1

2

t²=

5

16

×

1

2

×4×4=

5

2

，
解得t₁=-

5

＜0，t₂=

5

＞2，兩個都不合題意，舍去；
當2＜t≤4時，S₂=-

3

2

t²+8t-8=

5

2

，
解得t₃=3，t₄=

7

3

，
綜上得，當t=

7

3

或t=3時，S₂為△OAB的面積的

5

16

．

點評：本題主要考查了函數圖象與坐標軸的交點的求法，以及利用三角形的相似的性質．是一個難度較大的綜合題．