Question

如圖，已知A、B兩點的坐標分別為（4，0）、（0，2），P是△AOB外接圓上的一點，且∠AOP=45°，反比例函數圖象經過點P，則k的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：連接BP，AP，利用勾股定理在Rt△ABO中求出AB²=BO²+OA²=4+16=20，再證明BP=PA，過P作PD⊥OA，在Rt△ABP中，首先求出OD=DP，再利用勾股定理求出DP的長，進而求出P點坐標，再利用待定系數法求出反比例函數關系式中的k．
解答：解：連接BP，AP，
在Rt△ABO中，
AB²=BO²+OA²，
∵A、B兩點的坐標分別為（4，0）、（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∴AB²=BO²+OA²=4+16=20，
∵∠AOP=45°，
∴∠PBA=45°，
∵∠BPA=90°，
∴∠PAB=45°，
∴BP=PA，
在Rt△ABP中，
AB²=BP²+PA²，
∴BP=AP=，
過P作PD⊥OA，
∵∠AOP=45°，
∴∠OPD=45°，
∴PD=OD，
設OD=DP=x，則AD=4-x，
在Rt△ADP中，
AP²=DP²+DA²，
∴10=x²+（4-x）²，
解得：x=1（不合題意，舍去）或3，
∴P（3，3）
∵反比例函數圖象經過點P
∴k=3×3=9，
故答案為：9．
點評：此題主要考查了勾股定理，圓周角定理，與待定系數法求反比例函數關系式，是一個綜合題，正確作出輔助線，求出P點坐標是做題的關鍵．