Question

如圖，AB為⊙O的直徑，CD為弦，且CD⊥AB，垂足為H．
（1）如果⊙O的半徑為4，∠BAC=30°，求CD的長；
（2）若點E為ADB弧的中點，連接OE、CE．求證：CE平分∠OCD；
（3）在（1）的條件下，圓周上到直線AC距離為3的點有多少個？并說明理由．

Answer 1

（1）解：∵AB⊥CD，
∴CD=2CH，∠CHA=90°，
∵OA=OC，∠BAC=30°，
∴∠ACO=∠BAC=30°，
∴∠COH=30°+30°=60°，
∴∠OCH=30°，
∴OH=OC=×4=2，
∴CH=OH=2，
∴CD=2CH=4．

（2）證明：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°=∠CHB，
∴∠A+∠B=∠B+∠BCH=90°，
∴∠A=∠BCD=∠ACO，
∵E為弧ADB的中點，
∴∠ACE=∠BCE，
∴∠ACE-∠ACO=∠BCE-∠BCD，
∴∠OCE=∠DCE，
即CE平分∠OCD．

（3）解：在（1）的條件下，圓周上到直線AC距離為3的點有2個，
理由是：在BC上截取BM=1，過M作AC的平行線交圓于N、Q，則此時兩點符合題意，除去這兩點以外，再沒有符合題意的點了，
即在（1）的條件下，圓周上到直線AC距離為3的點有2個．
分析：（1）根據垂徑定理求出CD=2CH，求出OH，根據勾股定理求出CH即可．
（2）求出∠ACO=∠BCD，∠ACE=∠BCE，相減即可．
（3）根據BC=4和半徑是4，即可得出答案．
點評：本題考查了圓周角定理，垂徑定理，含30度角的直角三角形性質的應用，題目比較好，但是有一定的難度．