Question

（2007•臨汾）如圖，已知正方形ABCD與正方形EFGH的邊長分別是和，它們的中心O₁，O₂都在直線l上，AD∥l，EG在直線l上，l與DC相交于點M，ME=7-2，當正方形EFGH沿直線l以每秒1個單位的速度向左平移時，正方形ABCD也繞O₁以每秒45°順時針方向開始旋轉，在運動變化過程中，它們的形狀和大小都不改變．
（1）在開始運動前，O₁O₂=______；
（2）當兩個正方形按照各自的運動方式同時運動3秒時，正方形ABCD停止旋轉，這時AE=______，O₁O₂=______；
（3）當正方形ABCD停止旋轉后，正方形EFGH繼續向左平移的時間為x秒，兩正方形重疊部分的面積為y，求y與x之間的函數表達式．

Answer 1

【答案】分析：（1）開始運動前Q₁O₂=O₁M+ME+O₂E，O₁M=AD=2，O₂E=EH=2，因此O₁O₂=9．
（2）當運動3秒后，A在直線l上，O₁A=AD=4，O₁E=7-3=4，因此O₁E=O₁A，A、E重合，即AE=0．
O₁O₂=O₁A+O₂E=4+2=6．
（3）本題要分四種情況：
①當0≤x＜4時，圖1，重合的小正方形對角線AE=x，因此y=x²．
②當4≤x＜8時，圖2，正方形EFGH在正方形ABCD內部，重合部分的面積就是正方形EFGH的面積．
③當8≤x＜12時，圖3，參照①的解法．
④當x≥12時，此時兩正方形不重合，因此y=0．
解答：解：（1）9．

（2）0，6


（3）當正方形ABCD停止運動后，正方形EFGH繼續向左平移時，與正方形ABCD重疊部分的形狀也是正方形．
重疊部分的面積y與x之間的函數關系應分四種情況：
①如圖1，當0≤x＜4時，
∵EA=x，
∴y與x之間的函數關系式為y=．
②如圖2，當4≤x＜8時，y與x之間的函數關系式為y=（2）²=8．
③如圖3，當8≤x＜12時，
∵CG=12-x，
∴y與x之間的函數關系式為y==x²-12x+72．
④當x≥12時，y與x之間的函數關系式為y=0．
點評：本題為運動性問題，考查了正方形的性質、圖形的旋轉、二次函數的應用等知識．綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．