Question

在一次研究性學習活動中，某小組將兩張互相重合的正方形紙片ABCD和EFGH的中心O用圖釘固定住，保持正方形ABCD不動，順時針旋轉正方形EFGH，如圖所示．

(1)小組成員經觀察、測量，發現在旋轉過程中，有許多有趣的結論．下面是旋轉角度小于90°時他們得到的一些猜想：

①ME＝MA；

②兩張正方形紙片的重疊部分的面積為定值；

③∠MON保持45°不變．

請你對這三個猜想作出判斷(正確的在序號后的括號內打上“√”，錯誤的打上“×”)：

①(　　)；②(　　)；③(　　)．

(2)上面的三個猜想中若有正確的，請選擇其中的一個給予證明；若都是錯誤的，請選擇其一說明理由．

(3)小組成員還發現：(1)中的△EMN的面積S隨著旋轉角度∠AOE的變化而變化．請你指出當旋轉角∠AOE為多少度時△EMN的面積S取得最大值．(不必證明)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)①(√)；②(×)；③(√)．　3分 　　(2)證明：對于猜想①， 　　連結OA、OE、AE．由已知得OA＝OE， 　　∴∠OAE＝∠OEA． 　　又∵∠OAM＝∠OEM＝45°， 　　∴∠OAE－∠OAM＝∠OEA－∠OEM， 　　即∠MAE＝∠MEA．∴ME＝MA．　3分 　　對于猜想③， 　　證得OM平分∠EOA，同理ON平分∠DOE， 　　∠MOE＋∠NOE＝∠AOD＝×90°＝45°， 　　即∠MON保持45°不變．　3分 　　(3)當∠AOE＝45°時，△EMN的面積S取得最大值．　2分